Matematyka Matura Podstawowa Maj 2015 Zadanie 34

W nieskończonym ciągu arytmetycznym ( a_n ) , określonym dla n \geq 1 , suma jedenastu
początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 187. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu, jest równa 12. Wyrazy a_1, a_3 , a_k ciągu ( a_n ) , w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny ( b_n ) . Oblicz k .

Rozpisujemy poszczególne wyraz z wzoru na wyraz ogólny:
a_n = a_1 + (n-1)r
a_1 = a_1
a_3 = a_1 + 2r
a_9 = a_1 + 8r

Korzystamy ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i zapisujemy równanie:
S_n = \frac{a_1+a_n}{2}
S_{11} = 187
\frac{2a_1+10r}{2}*11 = 187
(a_1+5r)*11=187
a_1+5r=17

Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu jest równa 12:
\frac{a_1+a_3+a_9}{3} = 12
a_1 + a_1 + 2r + a_1 + 8r = 36
3a_1 + 10r = 36

tworzymy układ równań:
\left \{ \begin{array}{r} a_1 + 5r = 17 \\ 3a_1 + 10r = 36 \end{array} \right.
\left \{ \begin{array}{r} 2a_1 + 10r = 34 \\ 3a_1 + 10r = 36 \end{array} \right.
\left \{ \begin{array}{r} a_1 + 5r = 17 \\ a_1 = 2 \end{array} \right.
\left \{ \begin{array}{r} 2 + 5r = 17 \\ a_1 = 2 \end{array} \right.
\left \{ \begin{array}{r} 5r = 17 - 2 \\ a_1 = 2 \end{array} \right.
\left \{ \begin{array}{r} 5r = 15 \\ a_1 = 2 \end{array} \right.
\left \{ \begin{array}{r} r = 3 \\ a_1 = 2 \end{array} \right.

Obliczmy a_1, a_3, a_k
a_1 = 2
a_3 = a_1 + 2r = 2 + 2*3 = 2 + 6 = 8
a_k = a_1 + (k-1)r = 2 + (k-1)3 = 2 + 3k -3 = 3k -1

Te wyrazy w kolejności tworzą ciąg geometryczny. Korzystamy ze wzoru na środkowy wyraz ciągu geometrycznego
a_3^2 = a_1*a_k
8^2 = 2(3k-1)
64 = 6k - 2
66 = 6k
k = 11

Dodaj komentarz

Twój adres e-mail nie zostanie opublikowany.